Тест фоксфорд прямоугольный треугольник

Тест фоксфорд прямоугольный треугольник

• О нас
• Новости
• Рубрики
• Наши проекты
• Карта проектов
• Контакты
• Партнерам

• Журнал
• Клуб друзей EdExpert
• Подписка
• Архив

• СПЕЦПРОЕКТ СБИТЬ «КОРОНУ»!
• Проверено EdExpert
• Добрый знак
• 40 лет LEGO EDUCATION
• Startup City Challenge
• Фестиваль-игра «Столица будущего»

• Технологии
• Кейсы
• Смыслы
• Аналитика
• Консалтинг
• Стартапы
• Школы
• Колледжи
• Спецвыпуск

С 16 апреля в онлайн-школе «Фоксфорд» открыт бесплатный доступ к онлайн-тестам для проверки уровня знаний школьников 5−11 классов по 11 предметам. Срез знаний во время дистанционного обучения поможет понять, как школьники усвоили учебный материал, и скорректировать программу на следующий год.

В этом году проведение итогового контроля возможно только в онлайн-формате, тестирование прошли уже более 50 000 учеников.

Для учителей

Преподавателю нужно зайти на страницу проекта, выбрать предмет и класс и пригласить учеников пройти тест. Участники получат сообщение со ссылкой на контрольную работу. После её выполнения учителя увидят статистику с результатами класса.

Для учеников

Школьники могут и самостоятельно проверить свои знания, пройти тест без приглашения учителя и оценить, какие темы требуют внимания.

Источник

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	$<1>/<2>$	$<√2>/<2>$	$<√3>/<2>$
$cosα$	$<√3>/<2>$	$<√2>/<2>$	$<1>/<2>$
$tgα$	$<√3>/<3>$	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	$<√3>/<3>$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√<91>$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.

Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то

Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:

Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:

Подставим найденное значение в формулу косинуса

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sin⁡A=<4>/<5>, AC=9$. Найдите $АВ$.

Распишем синус угла $А$ по определению:

Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$

Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

Источник

Тест Г7.IV(3)-1. Прямоугольные треугольники

1. На рисунке ∠ВАС=∠СED=90°, ∠В=50°, ∠D=65°. Найти ∠BCD.

2. Высоты АА 1 и ВВ 1 равнобедренного треугольника с основанием АС пересекаются в точке М. ∠АМС=140°. Найти ∠В.

3. В треугольнике АВС ∠С=90°, ∠В=60°, АВ=11,6 см. Найти ВС.

4. В треугольнике АВС ∠С=90°. Гипотенуза АВ=13,2 см, меньший катет ВС=6,6 см. Найти неизвестные углы треугольника.

1. На рисунке ∠ВАС=∠СED=90°, ∠В=35°, ∠D=60°. Найти ∠BCD.

2. Высоты СС 1 и ВВ 1 равнобедренного треугольника с основанием ВС пересекаются в точке К. ∠В 1ВС=15°. Найти ∠А.

3. В треугольнике АВС ∠С=90°, ∠А=60°, АС=8,7 см. Найти АВ.

1. В треугольнике АВС ∠ВАС=63°, ∠АВС=59°. Высоты АА 1 и ВВ 1 пересекаются в точке F. Найти ∠АFB.

2. В треугольнике АВС АВ=ВС, ВК – биссектриса. ∠АBК=30°, СК=3,6 см. Найти периметр ΔАВС.

3. В равнобедренном треугольнике MNP с основанием MP боковая сторона равна 21,8 см. Высота NK=10,9 см. Найти ∠NMP и ∠PNК.

4. В треугольнике АВС ∠С=90°, ∠В=30°.

СС 1 – высота . АС 1=4,9 см. Найти АС и АВ.

1. В треугольнике АВС ∠АВС=61°, ∠АСВ=63°. Высоты ВВ 1 и СС 1 пересекаются в точке К. Найти ∠BКС.

2. В треугольнике АВС АВ=ВС, ВМ – медиана. ∠СBМ=30°, АМ=2,9 см. Найти периметр ΔАВС.

3. В равнобедренном треугольнике CFK основание CK=19,2 см.

Высота FM=9,6 см. Найти ∠CFM и ∠MKF.

4. В треугольнике АВС ∠С=90°, ∠А=30°.

СС 1 – высота. ВС=5,8 см. Найти АВ и ВС 1.

Источник

Тест с ответами: “Тригонометрические функции”

1. В школьном курсе геометрии тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон:
а) прямоугольного треугольника +
б) равностороннего треугольника
в) равнозначного треугольника

2. Синус:
а) прерывистая функция
б) непрерывная функция +
в) постоянная функция

3. Раздел математики, изучающий свойства тригонометрических функций, называется:
а) планиметрией
б) геометрией
в) тригонометрией +

4. Косинус:
а) непрерывная функция +
б) прерывистая функция
в) частичная функция

5. К тригонометрическим функциям традиционно причисляют:
а) кривые тригонометрические функции
б) главные тригонометрические функции
в) прямые тригонометрические функции +

6. Тангенс имеет:
а) точки срыва
б) точки разрыва +
в) точки разности

7. К тригонометрическим функциям традиционно причисляют:
а) основные тригонометрические функции
б) производимые тригонометрические функции
в) производные тригонометрические функции +

8. Секанс имеет:
а) точки разрыва +
б) точки сопряжения
в) точки сближения

9. К тригонометрическим функциям традиционно причисляют:
а) саканс
б) сиканс
в) секанс +

10. Упростите: 4 : (ctga – tga):
а) tg2a
б) 2tg2a +
в) ctg2a

11. К тригонометрическим функциям традиционно причисляют:
а) косеканс +
б) косиканс
в) косаканс

12. Упростите: 2 : (tga – ctga):
а) ctg2a
б) -tg2a +
в) tg2a

13. Обратная тригонометрическая функция:
а) арксинус +
б) синус
в) косеканс

15. Обратная тригонометрическая функция:
а) арккосинус +
б) косинус
в) секанс

16. Найдите tgа, если tg(π/4 + а) = 3:
а) -1/3
б) 1/2 +
в) -1/2

17. Обычно тригонометрические функции определяются:
а) физически
б) алгебраически
в) геометрически +

18. Найдите ctgа, если tg(π/4 – а) = -5/3:
а) -1/3
б) -1/4 +
в) 1/3

19. Одно из свойств тригонометрических функций:
а) знаковость
б) расплывчатость
в) чётность +

20. Найдите ctgа, если tg(π/4 + а) = 5/3:
а) -3
б) 4 +
в) 1/4

21. Одно из свойств тригонометрических функций:
а) периодичность +
б) постоянство
в) прерывистость

22. Косинус суммы двух углов треугольника равен -1/3. Найдите косинус третьего угла:
а) -2/3
б) 1/3 +
в) 2/3

23. Производная тригонометрическая функция:
а) секанс
б) косинус
в) тангенс +

24. Найдите tgх, если tg(х + у) = 5 и tgу = 1/8:
а) 1/8
б) 3 +
в) 1/2

25. Производная тригонометрическая функция:
а) косеканс
б) синус
в) котангенс +

26. Все тригонометрические функции можно выразить через … половинного угла:
а) синус
б) тангенс +
в) косинус

27. Прямая тригонометрическая функция:
а) синус +
б) тангенс
в) котангенс

28. Одно из свойств тригонометрических функций:
а) бесконечность
б) прерывность
в) непрерывность +

29. Прямая тригонометрическая функция:
а) косинус +
б) тангенс
в) секанс

30. Одно из свойств тригонометрических функций:
а) сложные тождества
б) простейшие тождества +
в) равные тождества

Источник